Cálculo Ejemplos

$y = x^{2}$ , $y = 4 x - x^{2}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} = 4 x - x^{2}$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} = 4 x - x^{2}$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 x - x^{2} = x^{2}$

Paso 1.2.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Paso 1.2.2.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $2 u$ de $4 u - 2 u^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2 u$ de $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Paso 1.2.3.2.3

Factoriza $2 u$ de $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0 + y = 4 x - x^{2}$

Paso 1.2.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.6

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 1.2.6.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (2 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 4 (0) - {(0)}^{2}$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = 4 (0) - {(0)}^{2}$ , y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 (0) - 0^{2}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $4 (0) - 0^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

Paso 1.3.2.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 0$

Paso 1.3.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$y = 0 + 0$

Paso 1.3.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = 4 (2) - {(2)}^{2}$

Paso 1.4.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = 4 (2) - {(2)}^{2}$ , y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 (2) - 2^{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica $4 (2) - 2^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = 8 - 2^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 8 - 1 \cdot 4$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = 8 - 4$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $4$ de $8$ .

$y = 4$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

Paso 2

Reordena $4 x$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x - (x^{2}) d x$

Paso 4.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} + 4 x d x$

Paso 4.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Paso 4.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Paso 4.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Paso 4.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Paso 4.7

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} x d x$

Paso 4.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Paso 4.9

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Paso 4.9.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $0$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Paso 4.9.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $0$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.5

Suma $\frac{8}{3}$ y $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{8}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.7

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{- 16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.10

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.10.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.10.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.9.2.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{2})$

Paso 4.9.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.12.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 4.9.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 4.9.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 4.9.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{1})$

Paso 4.9.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - 0)$

Paso 4.9.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 + 0)$

Paso 4.9.2.3.14

Suma $2$ y $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2$

Paso 4.9.2.3.15

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8$

Paso 4.9.2.3.16

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.9.2.3.17

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Paso 4.9.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3}$

Paso 4.9.2.3.19

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.2.3.19.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{- 16 + 24}{3}$

Paso 4.9.2.3.19.2

Suma $- 16$ y $24$ .

$\frac{8}{3}$

Paso 5