Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x + 4$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} - 2 x = x + 4$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

Paso 1.2.1.2

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

Paso 1.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 1.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1 + y = x + 4$

Paso 1.2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 4$

Paso 1.2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 4$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = (4) + 4$

Paso 1.3.2

Sustituye $4$ por $x$ en $y = (4) + 4$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 + 4$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (4) + 4$

Paso 1.3.2.3

Suma $4$ y $4$ .

$y = 8$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = - 1$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = (- 1) + 4$

Paso 1.4.2

Sustituye $- 1$ por $x$ en $y = (- 1) + 4$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 1 + 4$

Paso 1.4.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (- 1) + 4$

Paso 1.4.2.3

Suma $- 1$ y $4$ .

$y = 3$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} x + 4 d x - \int_{- 1}^{4} x^{2} - 2 x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $4$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - (x^{2} - 2 x) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 - x^{2} - (- 2 x)$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x + 4 - x^{2} + 2 x$

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - x^{2} + 2 x d x$

Paso 3.3

Suma $x$ y $2 x$ .

$\int_{- 1}^{4} 3 x + 4 - x^{2} d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{4} 3 x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{- 1}^{4} x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.8

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Paso 3.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - \int_{- 1}^{4} x^{2} d x$

Paso 3.10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4})$

Paso 3.11

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Paso 3.11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.11.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Paso 3.11.2.2

Evalúa $4 x$ en $4$ y en $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Paso 3.11.2.3

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4

Simplifica.

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Paso 3.11.2.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 3.11.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.4

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.5

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.2.4.7.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.7.2

Resta $1$ de $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.8

Combina $3$ y $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.9

Multiplica $3$ por $15$ .

$\frac{45}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.10

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{45}{2} + 16 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.11

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{45}{2} + 16 + 4 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.12

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{45}{2} + 20 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.13

Para escribir $20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.14

Combina $20$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 + 20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.16

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.2.4.16.1

Multiplica $20$ por $2$ .

$\frac{45 + 40}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.16.2

Suma $45$ y $40$ .

$\frac{85}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.17

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3})$

Paso 3.11.2.4.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3})$

Paso 3.11.2.4.20

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Paso 3.11.2.4.21

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 3.11.2.4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{85}{2} - \frac{64 + 1}{3}$

Paso 3.11.2.4.23

Suma $64$ y $1$ .

$\frac{85}{2} - \frac{65}{3}$

Paso 3.11.2.4.24

Para escribir $\frac{85}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3}$

Paso 3.11.2.4.25

Para escribir $- \frac{65}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.11.2.4.26

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.11.2.4.26.1

Multiplica $\frac{85}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.11.2.4.26.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.11.2.4.26.3

Multiplica $\frac{65}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 3.11.2.4.26.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6}$

Paso 3.11.2.4.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{85 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6}$

Paso 3.11.2.4.28

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.2.4.28.1

Multiplica $85$ por $3$ .

$\frac{255 - 65 \cdot 2}{6}$

Paso 3.11.2.4.28.2

Multiplica $- 65$ por $2$ .

$\frac{255 - 130}{6}$

Paso 3.11.2.4.28.3

Resta $130$ de $255$ .

$\frac{125}{6}$

Paso 4