Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 - 7 x}$ como ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Simplifica.

$3 - 7 x = 0^{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 - 7 x = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve $x$

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Paso 1.2.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 x = - 3$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $- 7 x = - 3$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $- 7 x = - 3$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{3}{7}$

Paso 1.3

Sustituye $\frac{3}{7}$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{3}{7}, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $\frac{3}{7}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

Paso 3.3

Sea $u = 3 - 7 x$ . Entonces $d u = - 7 d x$ , de modo que $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.1

Deja $u = 3 - 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.1.1

Diferencia $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 3.3.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 3.3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Paso 3.3.1.3.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$0 - 7$

Paso 3.3.1.4

Resta $7$ de $0$ .

$- 7$

Paso 3.3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 - 7 x$ .

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

Paso 3.3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Paso 3.3.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 3.3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 - 7 x$ .

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.5.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.5.1.1.1

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

Paso 3.3.5.1.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

Paso 3.3.5.1.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Paso 3.3.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Paso 3.3.5.2

Resta $3$ de $3$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 3.3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Paso 3.3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Paso 3.4.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Paso 3.6

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

Paso 3.7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

Paso 3.9

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $0$ y en $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.9.2

Simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.9.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.9.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.9.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.9.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.9.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.9.2.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Paso 3.9.2.6

Combina $3^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Paso 3.9.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.8

Mueve $3^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Paso 3.9.2.9

Multiplica $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.2.9.1

Mueve $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Paso 3.9.2.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Paso 3.9.2.9.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Paso 3.9.2.9.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Paso 3.9.2.9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Paso 3.9.2.9.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.9.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Paso 3.9.2.9.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3.9.2.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.9.2.11

Resta $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.9.2.12

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.2.13

Combina $2$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.9.2.14

Combina $\frac{2}{7}$ y $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

Paso 4