Cálculo Ejemplos

$x - 2 y = - 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 5 + 2 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Paso 1.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 5 + 2 y$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 25$ por $- 5 + 2 y$ .

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Simplifica ${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1.1

Reescribe ${(- 5 + 2 y)}^{2}$ como $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ .

$(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.2

Expande $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 (- 5 + 2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$25 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$25 - 10 y + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.1.3.2

Resta $10 y$ de $- 10 y$ .

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.2.2.1.2

Suma $4 y^{2}$ y $y^{2}$ .

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3

Resuelve $y$ en $25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$ .

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Paso 1.3.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.2

Combina los términos opuestos en $25 - 20 y + 5 y^{2} - 25$ .

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Paso 1.3.2.1

Resta $25$ de $25$ .

$- 20 y + 5 y^{2} + 0 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.2.2

Suma $- 20 y + 5 y^{2}$ y $0$ .

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.3

Factoriza $- 5 y$ de $- 20 y + 5 y^{2}$ .

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Paso 1.3.3.1

Reordena $- 20 y$ y $5 y^{2}$ .

$5 y^{2} - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $- 5 y$ de $5 y^{2}$ .

$- 5 y (- y) - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.3.3

Factoriza $- 5 y$ de $- 20 y$ .

$- 5 y (- y) - 5 y \cdot 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.3.4

Factoriza $- 5 y$ de $- 5 y (- y) - 5 y (4)$ .

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.5

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.6

Establece $- y + 4$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.6.1

Establece $- y + 4$ igual a $0$ .

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.6.2

Resuelve $- y + 4 = 0$ en $y$ .

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Paso 1.3.6.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = - 4$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.6.2.2

Divide cada término en $- y = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.6.2.2.1

Divide cada término en $- y = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.6.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.6.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 5 y (- y + 4) = 0$ verdadera.

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 5 + 2 y$ por $0$ .

$x = - 5 + 2 (0)$

$y = 0$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica $- 5 + 2 (0)$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$x = - 5 + 0$

$y = 0$

Paso 1.4.2.1.2

Suma $- 5$ y $0$ .

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 1.5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 5 + 2 y$ por $4$ .

$x = - 5 + 2 (4)$

$y = 4$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica $- 5 + 2 (4)$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = - 5 + 8$

$y = 4$

Paso 1.5.2.1.2

Suma $- 5$ y $8$ .

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

Paso 1.6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

Paso 2

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 5 + 2 y$

Paso 3

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 25$ en los términos de $x$ .

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Paso 3.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 25 - y^{2}$

Paso 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25 - y^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{25 - y^{2}}$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Paso 4

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y - \int_{0}^{4} - 5 + 2 y d y$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $0$ y $4$ .

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Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} - (- 5 + 2 y) d y$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} - - 5 - (2 y)$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - (2 y)$

Paso 5.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y$

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y d y$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.4

Completa el cuadrado.

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Paso 5.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1.1

Expande $(5 + y) (5 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (5 - y) + y (5 - y)$

Paso 5.4.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)$

Paso 5.4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Paso 5.4.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.2.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Paso 5.4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)$

Paso 5.4.1.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)$

Paso 5.4.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$25 - 5 y + 5 y - y \cdot y$

Paso 5.4.1.2.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.2.1.5.1

Mueve $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)$

Paso 5.4.1.2.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - y^{2}$

Paso 5.4.1.2.2

Suma $- 5 y$ y $5 y$ .

$25 + 0 - y^{2}$

Paso 5.4.1.2.3

Suma $25$ y $0$ .

$25 - y^{2}$

Paso 5.4.1.3

Reordena $25$ y $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 25$

Paso 5.4.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 25$

Paso 5.4.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.4.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.4.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.4.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.4.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 5.4.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 5.4.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 5.4.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.4.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 25 - \frac{0}{- 4}$

Paso 5.4.5.2.1.3

Divide $0$ por $- 4$ .

$e = 25 - 0$

Paso 5.4.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 25 + 0$

Paso 5.4.5.2.2

Suma $25$ y $0$ .

$e = 25$

Paso 5.4.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 0)}^{2} + 25$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 25} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.5

Sea $u_{1} = y + 0$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.5.1

Deja $u_{1} = y + 0$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 5.5.1.1

Diferencia $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Paso 5.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 0$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Paso 5.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Paso 5.5.1.4

Como $0$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.5.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u_{1} = y + 0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Paso 5.5.3

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.5.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u_{1} = y + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Paso 5.5.5

Suma $4$ y $0$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 5.5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Paso 5.5.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 25} d u_{1} + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.6

Sea $u_{1} = 5 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = 5 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7

Simplifica los términos.

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Paso 5.7.1

Simplifica $\sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25}$ .

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Paso 5.7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (5^{2} \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (25 \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.1.3

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- 25 \sin^{2} (t) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.2

Reordena $- 25 \sin^{2} (t)$ y $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.3

Factoriza $25$ de $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.4

Factoriza $25$ de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.5

Factoriza $25$ de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.7

Reescribe $25 \cos^{2} (t)$ como ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.2

Simplifica.

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Paso 5.7.2.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.7.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.8

Dado que $25$ es constante con respecto a $t$ , mueve $25$ fuera de la integral.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.9

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.12

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.14

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.14.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 5.14.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 5.14.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.14.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.14.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 5.14.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.14.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Paso 5.14.5

Multiplica $2$ por $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Paso 5.14.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Paso 5.14.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.15

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.16

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.17

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.18

Aplica la regla de la constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Paso 5.19

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 \int_{0}^{4} y d y$

Paso 5.20

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.21

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.22

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.22.1

Evalúa $t$ en $0.92729521$ y en $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.22.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $1.85459043$ y en $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.22.3

Evalúa $5 y$ en $4$ y en $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 5.22.4

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $4$ y en $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5

Simplifica.

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Paso 5.22.5.1

Suma $0.92729521$ y $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 + 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.4

Suma $20$ y $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.6

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 5.22.5.6.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.22.5.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.6.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.22.5.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{2})$

Paso 5.22.5.8

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.22.5.8.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 5.22.5.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.22.5.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.22.5.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.22.5.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{1})$

Paso 5.22.5.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - 0)$

Paso 5.22.5.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 + 0)$

Paso 5.22.5.10

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 \cdot 8$

Paso 5.22.5.11

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 16$

Paso 5.22.5.12

Resta $16$ de $20$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 4$

Paso 5.23

Simplifica.

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Paso 5.23.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0)) + 4$

Paso 5.23.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0)) + 4$

Paso 5.23.3

Suma $\sin (1.85459043)$ y $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043)) + 4$

Paso 5.23.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2}) + 4$

Paso 5.23.5

Suma $0.92729521$ y $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521 + 4$

Paso 5.23.6

Combina $\frac{25}{2}$ y $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2} + 4$

Paso 5.23.7

Multiplica $25$ por $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4$

Paso 5.23.8

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.23.9

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Paso 5.23.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35.18238045 + 4 \cdot 2}{2}$

Paso 5.23.11

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{35.18238045 + 8}{2}$

Paso 5.23.12

Suma $35.18238045$ y $8$ .

$\frac{43.18238045}{2}$

Paso 5.24

Divide $43.18238045$ por $2$ .

$21.59119022$

Paso 6