Cálculo Ejemplos

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 12.83601099$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $12.83601099$ por $x$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Paso 1.3.2

Sustituye $12.83601099$ por $x$ en $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Paso 1.3.2.3

Simplifica $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Eleva $12.83601099$ a la potencia de $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

Paso 1.3.2.3.2

Suma $5$ y $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(12.83601099, 169.76317813)$

Paso 2

Reordena $5$ y $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 5$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $2$ y $3$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

Paso 4.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Paso 4.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Paso 4.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Paso 4.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Paso 4.7

Sea $u = 0.4 x$ . Entonces $d u = 0.4 d x$ , de modo que $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.7.1

Deja $u = 0.4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.7.1.1

Diferencia $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

Paso 4.7.1.2

Como $0.4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.4 x$ con respecto a $x$ es $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

Paso 4.7.1.4

Multiplica $0.4$ por $1$ .

$0.4$

Paso 4.7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 0.4 x$ .

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

Paso 4.7.3

Multiplica $0.4$ por $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

Paso 4.7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 0.4 x$ .

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

Paso 4.7.5

Multiplica $0.4$ por $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

Paso 4.7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

Paso 4.7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

Paso 4.8

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Paso 4.9

Dado que $\frac{1}{0.4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

Paso 4.10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Paso 4.11

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ y $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Paso 4.12

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.12.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ en $3$ y en $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Paso 4.12.2

Evalúa $e^{u}$ en $1.2$ y en $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3

Simplifica.

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Paso 4.12.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.3

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 4.12.3.3.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.12.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.3.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.5

Suma $9$ y $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.8

Multiplica $5$ por $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.9

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.10

Combina $10$ y $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 4.12.3.12.1

Multiplica $10$ por $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.12.2

Suma $8$ y $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.13

Para escribir $24$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.14

Combina $24$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 4.12.3.16.1

Multiplica $24$ por $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.16.2

Resta $38$ de $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Paso 4.12.3.17

Para escribir $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.12.3.18

Combina $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Paso 4.12.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Paso 4.12.3.20

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Paso 4.12.3.21

Combina $- 3$ y $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Paso 4.12.3.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Paso 4.13

Simplifica.

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Paso 4.13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.13.1.1

Divide $3$ por $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Paso 4.13.1.2

Multiplica $- 1$ por $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Paso 4.13.1.3

Multiplica $- 7.5$ por $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

Paso 4.13.1.4

Resta $8.20931995$ de $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

Paso 4.13.2

Divide $25.79068004$ por $3$ .

$8.59689334$

Paso 5