Cálculo Ejemplos

$y = x^{2}$ , $y = x$ , $x = - 1$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} = x$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} = x$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = 1$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis.

$y = 1$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{2} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $0$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - (x) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - x d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 3.7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $0$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 3.7.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $0$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3

Simplifica.

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Paso 3.7.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot - 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.6

Suma $0$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.8

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.7.2.3.8.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.7.2.3.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Paso 3.7.2.3.10

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Paso 3.7.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 3.7.2.3.12

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Paso 3.7.2.3.13

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.7.2.3.14

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.7.2.3.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.7.2.3.15.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.7.2.3.15.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.7.2.3.15.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 3.7.2.3.15.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.7.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 3}{6}$

Paso 3.7.2.3.17

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{5}{6}$

Paso 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} x - (x^{2}) d x$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Paso 5.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Paso 5.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Paso 5.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 5.7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.7.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 5.7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3

Simplifica.

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Paso 5.7.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3.6

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 5.7.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 5.7.2.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 5.7.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 5.7.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 5.7.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 5.7.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 5.7.2.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Paso 5.7.2.3.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Paso 5.7.2.3.11

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Paso 5.7.2.3.12

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.7.2.3.13

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.7.2.3.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.7.2.3.14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.7.2.3.14.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.7.2.3.14.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Paso 5.7.2.3.14.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Paso 5.7.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2}{6}$

Paso 5.7.2.3.16

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 6

Suma las áreas $\frac{5}{6} + \frac{1}{6}$ .

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Paso 6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 + 1}{6}$

Paso 6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{6}{6}$

Paso 6.2.2

Divide $6$ por $6$ .

$1$

Paso 7