Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2

Resuelve $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Elimina los exponentes fraccionarios mediante la multiplicación de ambos exponentes por el mínimo común denominador (mcd).

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.3.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 1.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 1.2.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 1.2.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Paso 1.2.3.4

Simplifica.

$x^{4} = 8 x$

Paso 1.2.4

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - 8 x = 0$

Paso 1.2.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4} - 8 x$ .

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Paso 1.2.5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Paso 1.2.5.1.2

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Paso 1.2.5.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ .

$x (x^{3} - 8) = 0$

Paso 1.2.5.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Paso 1.2.5.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 1.2.5.4

Factoriza.

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Paso 1.2.5.4.1

Simplifica.

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Paso 1.2.5.4.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Paso 1.2.5.4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Paso 1.2.5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 1.2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.8

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.8.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.8.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.9

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.9.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 1.2.9.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.9.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.9.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.9.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.9.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 1.2.9.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.9.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.9.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 1.2.9.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.9.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 1.2.9.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.9.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.9.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 1.2.9.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Paso 1.2.9.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.9.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 1.2.9.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.9.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.9.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.9.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 1.2.9.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 1.2.9.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 1.2.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.3.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Paso 1.3.2.2.3

Evalúa el exponente.

$y = 2 \cdot 0$

Paso 1.3.2.2.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.4.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.4.2.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.2.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Paso 1.4.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Paso 1.4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Paso 1.4.2.2.4

Suma $3$ y $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Paso 1.5

Sustituye $- 1 + i \sqrt{3}$ por $x$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.6

Sustituye $- 1 - i \sqrt{3}$ por $x$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.7

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3