Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{9}{8}}$ , $y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.2

Resuelve $x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Elimina los exponentes fraccionarios mediante la multiplicación de ambos exponentes por el mínimo común denominador (mcd).

${(x^{\frac{9}{8}})}^{8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{9}{8}})}^{8}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Paso 1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{9} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Paso 1.2.3.1

Aplica la regla del producto a $7 x^{\frac{1}{8}}$ .

$x^{9} = 7^{8} {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Paso 1.2.3.2

Eleva $7$ a la potencia de $8$ .

$x^{9} = 5764801 {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Paso 1.2.3.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Paso 1.2.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{9} = 5764801 x^{1}$

Paso 1.2.3.4

Simplifica.

$x^{9} = 5764801 x$

Paso 1.2.4

Resta $5764801 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{9} - 5764801 x = 0$

Paso 1.2.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{9} - 5764801 x$ .

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Paso 1.2.5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{9}$ .

$x \cdot x^{8} - 5764801 x = 0$

Paso 1.2.5.1.2

Factoriza $x$ de $- 5764801 x$ .

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801 = 0$

Paso 1.2.5.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801$ .

$x (x^{8} - 5764801) = 0$

Paso 1.2.5.2

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 5764801) = 0$

Paso 1.2.5.3

Reescribe $5764801$ como $2401^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 2401^{2}) = 0$

Paso 1.2.5.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{4}$ y $b = 2401$ .

$x ((x^{4} + 2401) (x^{4} - 2401)) = 0$

Paso 1.2.5.5

Factoriza.

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Paso 1.2.5.5.1

Simplifica.

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Paso 1.2.5.5.1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 2401)) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.2

Reescribe $2401$ como $49^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 49^{2})) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 49$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 49))) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.4

Factoriza.

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Paso 1.2.5.5.1.4.1

Simplifica.

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Paso 1.2.5.5.1.4.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 7^{2}))) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.4.1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.5.5.1.4.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) ((x + 7) (x - 7)))) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.4.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7))) = 0$

Paso 1.2.5.5.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7)) = 0$

Paso 1.2.5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$

Paso 1.2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{4} + 2401 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0 + y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.2.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.8

Establece $x^{4} + 2401$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.8.1

Establece $x^{4} + 2401$ igual a $0$ .

$x^{4} + 2401 = 0$

Paso 1.2.8.2

Resuelve $x^{4} + 2401 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.8.2.1

Resta $2401$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = - 2401$

Paso 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 2401}$

Paso 1.2.8.2.3

Simplifica $\pm \sqrt[4]{- 2401}$ .

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Paso 1.2.8.2.3.1

Reescribe $- 2401$ como $7^{4} \cdot - 1$ .

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Paso 1.2.8.2.3.1.1

Factoriza $2401$ de $- 2401$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2401 (- 1)}$

Paso 1.2.8.2.3.1.2

Reescribe $2401$ como $7^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{7^{4} \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 7 \sqrt[4]{- 1}$

Paso 1.2.8.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.8.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

Paso 1.2.8.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Paso 1.2.8.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Paso 1.2.9

Establece $x^{2} + 49$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.9.1

Establece $x^{2} + 49$ igual a $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Paso 1.2.9.2

Resuelve $x^{2} + 49 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.9.2.1

Resta $49$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 49$

Paso 1.2.9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Paso 1.2.9.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Paso 1.2.9.2.3.1

Reescribe $- 49$ como $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Paso 1.2.9.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (49)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Paso 1.2.9.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Paso 1.2.9.2.3.4

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Paso 1.2.9.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 7$

Paso 1.2.9.2.3.6

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Paso 1.2.9.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.9.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 7 i$

Paso 1.2.9.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 7 i$

Paso 1.2.9.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 7 i, - 7 i$

Paso 1.2.10

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.10.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 1.2.10.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 1.2.11

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.11.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 1.2.11.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 1.2.12

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 0, 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}, 7 i, - 7 i, - 7, 7$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{8}$ .

$y = 7 \cdot {(0^{8})}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.3.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 7 \cdot 0^{1}$

Paso 1.3.2.2.3

Evalúa el exponente.

$y = 7 \cdot 0$

Paso 1.3.2.2.4

Multiplica $7$ por $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $7 \sqrt[4]{- 1}$ por $x$ .

$y = 7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.4.2

Simplifica $7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$ .

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Paso 1.4.2.1

Aplica la regla del producto a $7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}})$

Paso 1.4.2.2

Multiplica $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.2.2.1

Mueve $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.4.2.2.2

Multiplica $7^{\frac{1}{8}}$ por $7$ .

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Paso 1.4.2.2.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.4.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.4.2.2.5

Suma $1$ y $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ por $x$ .

$y = 7 {(- 7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.5.2

Aplica la regla del producto a $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.6

Evalúa $y$ cuando $x = 7 i$ .

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Paso 1.6.1

Sustituye $7 i$ por $x$ .

$y = 7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.6.2

Simplifica $7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$ .

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Paso 1.6.2.1

Aplica la regla del producto a $7 i$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}})$

Paso 1.6.2.2

Multiplica $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.2.2.1

Mueve $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 i^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.6.2.2.2

Multiplica $7^{\frac{1}{8}}$ por $7$ .

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Paso 1.6.2.2.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} i^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.6.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} i^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.6.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.6.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.6.2.2.5

Suma $1$ y $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.7

Evalúa $y$ cuando $x = - 7 i$ .

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Paso 1.7.1

Sustituye $- 7 i$ por $x$ .

$y = 7 {(- 7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.7.2

Aplica la regla del producto a $- 7 i$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.8

Sustituye $- 7$ por $x$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.9

Evalúa $y$ cuando $x = 7$ .

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Paso 1.9.1

Sustituye $7$ por $x$ .

$y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.9.2

Sustituye $7$ por $x$ en $y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.9.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 7 \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.9.2.2

Multiplica $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.9.2.2.1

Multiplica $7$ por $7^{\frac{1}{8}}$ .

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Paso 1.9.2.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $1$ .

$y = 7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Paso 1.9.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 7^{1 + \frac{1}{8}}$

Paso 1.9.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 7^{\frac{8}{8} + \frac{1}{8}}$

Paso 1.9.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 7^{\frac{8 + 1}{8}}$

Paso 1.9.2.2.4

Suma $8$ y $1$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}}$

Paso 1.10

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3