Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = 2 x^{2}$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{2}$ .

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = 4 x^{4}$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

Paso 4

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $2$ y en $0$ .

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Paso 6.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

Paso 6.2.2.3

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 6.2.2.3.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Paso 6.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Paso 6.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Paso 6.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

Paso 6.2.2.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

Paso 6.2.2.5

Suma $\frac{32}{5}$ y $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

Paso 6.2.2.6

Combina $\frac{32}{5}$ y $4$ .

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

Paso 6.2.2.7

Multiplica $32$ por $4$ .

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

Paso 6.2.2.8

Combina $\frac{128}{5}$ y $π$ .

$V = \frac{128 π}{5}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{128 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 80.42477193 \dots$

Paso 8