Cálculo Ejemplos

$y = 0$ , $x = 2$ , $y = \sqrt{x}$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = \sqrt{x}$

Paso 2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$V = x$

Paso 2.5

Simplifica.

$V = x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $0$ .

$V = π ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$V = π (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.2.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$V = π (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 4.2.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (2 - \frac{0}{2})$

Paso 4.2.2.4

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$V = π (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 4.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (2 - \frac{0}{1})$

Paso 4.2.2.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (2 - 0)$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (2 + 0)$

Paso 4.2.2.6

Suma $2$ y $0$ .

$V = π \cdot 2$

Paso 4.2.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$V = 2 π$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = 2 π$

Forma decimal:

$V = 6.28318530 \dots$

Paso 6