Cálculo Ejemplos

$y = x + 2$ , $y = x^{2}$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{2} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x^{2}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$V = (x + 2) (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$V = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$V = x^{2} + 4 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{4}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 10

Combina $\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}$ y $4 x]_{- 1}^{2}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{4} d x)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{2}))$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

Paso 13.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $- 1$ .

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

Paso 13.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3} + 4 x$ en $2$ y en $- 1$ .

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

Paso 13.2.3

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $2$ y en $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4

Simplifica.

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Paso 13.2.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$V = π (4 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 13.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (4 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$V = π (4 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$V = π (4 (2 - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.5

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.4.7.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = π (4 (\frac{4 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.7.2

Resta $1$ de $4$ .

$V = π (4 (\frac{3}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.8

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 3}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.9

Multiplica $4$ por $3$ .

$V = π (\frac{12}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.10

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 13.2.4.10.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.4.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{6}{1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.10.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$V = π (6 + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.12

Multiplica $4$ por $2$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.13

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.14

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (6 + \frac{8 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.16

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.4.16.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$V = π (6 + \frac{8 + 24}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.16.2

Suma $8$ y $24$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.17

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{- 1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.19

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.20

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.21

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 4 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.23

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.4.23.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 12}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.23.2

Resta $12$ de $- 1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.24

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.25

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} + 1 (\frac{13}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.26

Multiplica $\frac{13}{3}$ por $1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (6 + \frac{32 + 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.28

Suma $32$ y $13$ .

$V = π (6 + \frac{45}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.29

Cancela el factor común de $45$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.4.29.1

Factoriza $3$ de $45$ .

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.29.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.4.29.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 (1)} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.29.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot 1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.29.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (6 + \frac{15}{1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.29.2.4

Divide $15$ por $1$ .

$V = π (6 + 15 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.30

Suma $6$ y $15$ .

$V = π (21 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.31

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 13.2.4.32

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Paso 13.2.4.33

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

Paso 13.2.4.34

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Paso 13.2.4.35

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

Paso 13.2.4.36

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (21 - \frac{32 + 1}{5})$

Paso 13.2.4.37

Suma $32$ y $1$ .

$V = π (21 - \frac{33}{5})$

Paso 13.2.4.38

Para escribir $21$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (21 \cdot \frac{5}{5} - \frac{33}{5})$

Paso 13.2.4.39

Combina $21$ y $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{21 \cdot 5}{5} - \frac{33}{5})$

Paso 13.2.4.40

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{21 \cdot 5 - 33}{5})$

Paso 13.2.4.41

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.4.41.1

Multiplica $21$ por $5$ .

$V = π (\frac{105 - 33}{5})$

Paso 13.2.4.41.2

Resta $33$ de $105$ .

$V = π (\frac{72}{5})$

Paso 13.2.4.42

Combina $π$ y $\frac{72}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 72}{5}$

Paso 13.2.4.43

Mueve $72$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{72 π}{5}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{72 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 45.23893421 \dots$

Paso 15