Cálculo Ejemplos

$y = x$ ,

$y = 0$ ,

$x = 2$ ,

$x = 4$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio

$f (x)$ y

$A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{2}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ donde

$f (x) = x$

Paso 2

Elimina los paréntesis.

$V = x^{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de

$x^{2}$ con respecto a

$x$ es

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π \frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina

$\frac{1}{3}$ y

$x^{3}$ .

$V = π \frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa

$\frac{x^{3}}{3}$ en

$4$ y en

$2$ .

$V = π ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva

$4$ a la potencia de

$3$ .

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 4.2.2.2

Eleva

$2$ a la potencia de

$3$ .

$V = π (\frac{64}{3} - \frac{8}{3})$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{64 - 8}{3})$

Paso 4.2.2.4

Resta

$8$ de

$64$ .

$V = π (\frac{56}{3})$

Paso 4.2.2.5

Combina

$π$ y

$\frac{56}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 56}{3}$

Paso 4.2.2.6

Mueve

$56$ a la izquierda de

$π$ .

$V = \frac{56 π}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{56 π}{3}$

Forma decimal:

$V = 58.64306286 \dots$

Paso 6