Cálculo Ejemplos

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = 4 x$ y $g (x) = x^{2}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Paso 4

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $4$ y en $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.5

Suma $\frac{64}{3}$ y $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.6

Combina $16$ y $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.7

Multiplica $16$ por $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.8

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Paso 9.2.3.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Paso 9.2.3.10

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 9.2.3.10.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Paso 9.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.10.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Paso 9.2.3.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Paso 9.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Paso 9.2.3.12

Suma $\frac{1024}{5}$ y $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Paso 9.2.3.13

Para escribir $\frac{1024}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Paso 9.2.3.14

Para escribir $- \frac{1024}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 9.2.3.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.2.3.15.1

Multiplica $\frac{1024}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 9.2.3.15.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 9.2.3.15.3

Multiplica $\frac{1024}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Paso 9.2.3.15.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Paso 9.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Paso 9.2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.17.1

Multiplica $1024$ por $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Paso 9.2.3.17.2

Multiplica $- 1024$ por $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Paso 9.2.3.17.3

Resta $3072$ de $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Paso 9.2.3.18

Combina $π$ y $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Paso 9.2.3.19

Mueve $2048$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{2048 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 428.93211697 \dots$

Paso 11