Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = \frac{3}{x}$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$V = \frac{9}{x^{2}}$

Paso 3

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Mueve $9$ a la izquierda de $π$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $14$ y en $7$ .

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

Paso 6.2.3

Para escribir $\frac{1}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 6.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $14$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

Paso 6.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

Paso 6.2.6

Suma $- 1$ y $2$ .

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

Paso 6.2.7

Combina $\frac{1}{14}$ y $9$ .

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

Paso 6.2.8

Combina $\frac{9}{14}$ y $π$ .

$V = \frac{9 π}{14}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{9 π}{14}$

Forma decimal:

$V = 2.01959527 \dots$

Paso 8