Cálculo Ejemplos

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (y)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ donde $f (y) = 2 y$ y $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Paso 10.1.2

Combina $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $4$ y en $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Paso 10.2.2

Evalúa $\frac{y^{5}}{5}$ en $4$ y en $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 10.2.3.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.5

Suma $\frac{64}{3}$ y $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.6

Combina $4$ y $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.7

Multiplica $4$ por $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.8

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.10

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 10.2.3.10.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.10.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Paso 10.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Paso 10.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Paso 10.2.3.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Paso 10.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Paso 10.2.3.12

Suma $\frac{1024}{5}$ y $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Paso 10.2.3.13

Reescribe $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ como un producto.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Paso 10.2.3.14

Multiplica $\frac{1024}{5}$ por $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Paso 10.2.3.15

Multiplica $5$ por $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Paso 10.2.3.16

Cancela el factor común de $1024$ y $20$ .

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Paso 10.2.3.16.1

Factoriza $4$ de $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Paso 10.2.3.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.16.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Paso 10.2.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Paso 10.2.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Paso 10.2.3.17

Para escribir $\frac{256}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Paso 10.2.3.18

Para escribir $- \frac{256}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 10.2.3.19

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.19.1

Multiplica $\frac{256}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 10.2.3.19.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 10.2.3.19.3

Multiplica $\frac{256}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Paso 10.2.3.19.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Paso 10.2.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Paso 10.2.3.21

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.21.1

Multiplica $256$ por $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Paso 10.2.3.21.2

Multiplica $- 256$ por $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Paso 10.2.3.21.3

Resta $768$ de $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Paso 10.2.3.22

Combina $π$ y $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Paso 10.2.3.23

Mueve $512$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{512 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 107.23302924 \dots$

Paso 12