Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x)$ , $x = 0$ , $x = π$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sin (x) = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 1.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 1.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 1.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.7

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Sustituye $π n$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = π n$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{π} \sin (x) d x - \int_{0}^{π} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $π$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{π} \sin (x) - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Paso 3.3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{π}$

Paso 3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.4.1

Evalúa $- \cos (x)$ en $π$ y en $0$ .

$- \cos (π) + \cos (0)$

Paso 3.4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \cos (π) + 1$

Paso 3.4.3

Simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- - \cos (0) + 1$

Paso 3.4.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- (- 1 \cdot 1) + 1$

Paso 3.4.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- - 1 + 1$

Paso 3.4.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1$

Paso 3.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 4