Cálculo Ejemplos

Hallar el área entre curvas y=sin(x) , x=0 , x=pi
y=sin(x)y=sin(x) , x=0x=0 , x=πx=π
Paso 1
Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.
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Paso 1.1
Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.
sin(x)=0sin(x)=0
Paso 1.2
Resuelve sin(x)=0sin(x)=0 en xx.
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Paso 1.2.1
Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer xx del interior de seno.
x=arcsin(0)x=arcsin(0)
Paso 1.2.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.2.2.1
El valor exacto de arcsin(0)arcsin(0) es 00.
x=0x=0
x=0x=0
Paso 1.2.3
La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de ππ para obtener la solución en el segundo cuadrante.
x=π-0x=π0
Paso 1.2.4
Resta 00 de ππ.
x=πx=π
Paso 1.2.5
Obtén el período de sin(x)sin(x).
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Paso 1.2.5.1
El período de la función puede calcularse mediante 2π|b|2π|b|.
2π|b|2π|b|
Paso 1.2.5.2
Reemplaza bb con 11 en la fórmula para el período.
2π|1|2π|1|
Paso 1.2.5.3
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre 00 y 11 es 11.
2π12π1
Paso 1.2.5.4
Divide 2π2π por 11.
2π2π
2π2π
Paso 1.2.6
El período de la función sin(x)sin(x) es 2π2π, por lo que los valores se repetirán cada 2π2π radianes en ambas direcciones.
x=2πn,π+2πnx=2πn,π+2πn, para cualquier número entero nn
Paso 1.2.7
Consolida las respuestas.
x=πnx=πn, para cualquier número entero nn
x=πnx=πn, para cualquier número entero nn
Paso 1.3
Sustituye πnπn por xx.
y=0y=0
Paso 1.4
Enumera todas las soluciones.
y=0,x=πny=0,x=πn
y=0,x=πny=0,x=πn
Paso 2
El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.
Area=π0sin(x)dx-π00dxArea=π0sin(x)dxπ00dx
Paso 3
Integra para obtener el área entre 00 y ππ.
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Paso 3.1
Combina las integrales en una sola integral.
π0sin(x)-(0)dxπ0sin(x)(0)dx
Paso 3.2
Resta 00 de sin(x)sin(x).
π0sin(x)dxπ0sin(x)dx
Paso 3.3
La integral de sin(x)sin(x) con respecto a xx es -cos(x)cos(x).
-cos(x)]π0cos(x)]π0
Paso 3.4
Simplifica la respuesta.
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Paso 3.4.1
Evalúa -cos(x)cos(x) en ππ y en 00.
-cos(π)+cos(0)cos(π)+cos(0)
Paso 3.4.2
El valor exacto de cos(0) es 1.
-cos(π)+1
Paso 3.4.3
Simplifica.
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Paso 3.4.3.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
--cos(0)+1
Paso 3.4.3.2
El valor exacto de cos(0) es 1.
-(-11)+1
Paso 3.4.3.3
Multiplica -1 por 1.
--1+1
Paso 3.4.3.4
Multiplica -1 por -1.
1+1
Paso 3.4.3.5
Suma 1 y 1.
2
2
2
2
Paso 4
 [x2  12  π  xdx ]