Cálculo Ejemplos

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 16$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

Paso 1.2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

Paso 1.3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Paso 1.3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.3.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.3.3.9

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.4

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 1.6

Resuelve $y'$

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Paso 1.6.1

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.2

Divide cada término en $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $4 y$ y simplifica.

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Paso 1.6.2.1

Divide cada término en $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Paso 1.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.6.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Paso 1.6.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Paso 1.6.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.6.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Paso 1.6.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Paso 1.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Paso 1.6.2.3.2

Combinar.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

Paso 1.6.2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.2.3.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

Paso 1.6.2.3.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

Paso 1.6.2.3.3.3

Reordena los factores en $\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8

Evalúa $x = 16$ y $y = 4$ .

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Paso 1.8.1

Reemplaza la variable $x$ con $16$ en la expresión.

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.2

Reemplaza la variable $y$ con $4$ en la expresión.

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.2

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.3

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.4

Multiplica los exponentes en ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.8.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.8.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

Paso 1.8.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

Paso 1.8.3.6

Suma $5$ y $2$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Paso 1.8.4

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$\frac{1}{128}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{128}$ y un punto dado $(16, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{128}$ y $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $16$ de $128$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $16$ de $- 16$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 1$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Paso 2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

Paso 2.3.2.3

Combina $4$ y $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 1$ y $32$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

Paso 3