Cálculo Ejemplos

$4 x^{2} + x y + 4 y^{2} = 9$ , $(1, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + x y + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + x y + 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 1.2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$8 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$8 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + x y' + y + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$8 x + x y' + y + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 x + x y' + y + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$8 x + x y' + y + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x + x y' + y + 4 (2 y y')$

Paso 1.2.4.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + x y' + y + 8 y y'$

Paso 1.2.5

Reordena los términos.

$x y' + 8 y y' + 8 x + y$

Paso 1.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + 8 y y' + 8 x + y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 8 y y' + y = - 8 x$

Paso 1.5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 8 y y' = - 8 x - y$

Paso 1.5.2

Factoriza $y'$ de $x y' + 8 y y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 8 y y' = - 8 x - y$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $y'$ de $8 y y'$ .

$y' (x) + y' (8 y) = - 8 x - y$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (8 y)$ .

$y' (x + 8 y) = - 8 x - y$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $y' (x + 8 y) = - 8 x - y$ por $x + 8 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $y' (x + 8 y) = - 8 x - y$ por $x + 8 y$ .

$\frac{y' (x + 8 y)}{x + 8 y} = \frac{- 8 x}{x + 8 y} + \frac{- y}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 8 y$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 8 y)}{x + 8 y} = \frac{- 8 x}{x + 8 y} + \frac{- y}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{x + 8 y} + \frac{- y}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 8 x - y}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 8 x$ .

$y' = \frac{- (8 x) - y}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (8 x) - (y)}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (8 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (8 x + y)}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.5.1

Reescribe $- (8 x + y)$ como $- 1 (8 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (8 x + y)}{x + 8 y}$

Paso 1.5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{8 x + y}{x + 8 y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x + y}{x + 8 y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{8 (1) + y}{(1) + 8 y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{8 (1) + 1}{(1) + 8 (1)}$

Paso 1.7.3

Elimina los paréntesis.

$- \frac{8 (1) + 1}{(1) + 8 (1)}$

Paso 1.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$- \frac{8 + 1}{1 + 8 (1)}$

Paso 1.7.4.2

Suma $8$ y $1$ .

$- \frac{9}{1 + 8 (1)}$

Paso 1.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$- \frac{9}{1 + 8}$

Paso 1.7.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$- \frac{9}{9}$

Paso 1.7.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.6.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.7.6.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{9}{9}$

Paso 1.7.6.1.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.4.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x + 1 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$y = - x + 2$

Paso 3