Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{3} - 16 x)}^{10}$ , $(4, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{10}$ y $g (x) = x^{3} - 16 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - 16 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 16 x$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x])$

Paso 1.2.3

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16 \cdot 1)$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$10 {(x^{3} - 16 x)}^{9} (3 x^{2} - 16)$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$10 {({(4)}^{3} - 16 \cdot 4)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$10 {(64 - 16 \cdot 4)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$10 {(64 - 64)}^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Paso 1.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.1

Resta $64$ de $64$ .

$10 \cdot 0^{9} (3 {(4)}^{2} - 16)$

Paso 1.4.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$10 \cdot 0 (3 {(4)}^{2} - 16)$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$0 (3 {(4)}^{2} - 16)$

Paso 1.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$0 (3 \cdot 16 - 16)$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$0 (48 - 16)$

Paso 1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.4.1

Resta $16$ de $48$ .

$0 \cdot 32$

Paso 1.4.4.2

Multiplica $0$ por $32$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(4, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.2

Multiplica $0$ por $x - 4$ .

$y = 0$

Paso 3