Cálculo Ejemplos

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ como ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Combina los términos.

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Paso 1.7.1.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.7.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.7.2

Reordena los factores de $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 1.8

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.9.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

Paso 1.9.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 1.9.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

Paso 1.9.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Paso 1.9.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Paso 1.9.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

Paso 1.9.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

Paso 1.9.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.9.2.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

Paso 1.9.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 (\frac{8}{1})$

Paso 1.9.2.2.3

Divide $8$ por $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Paso 1.9.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 8$ y un punto dado $(0, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 8 = - 8 x$

Paso 2.3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 8 x + 8$

Paso 3