Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.3.3

Multiplica ${(2 x - 5)}^{2}$ por $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 2 x - 5$ .

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Paso 1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.5.2

Factoriza $2 x - 5$ de ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2 x - 5$ de ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $2 x - 5$ de $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $2 x - 5$ de $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Paso 1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.1

Factoriza $2 x - 5$ de ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.6.3

Reescribe la expresión.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.11

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.12

Simplifica los términos.

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Paso 1.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.12.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.12.3

Resta $4 x$ de $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.12.4

Combina $3$ y $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13

Simplifica.

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Paso 1.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.13.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.2.2

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.3

Factoriza $3$ de $- 6 x - 15$ .

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Paso 1.13.3.1

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.3.2

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.3.3

Factoriza $3$ de $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.5

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.7

Reescribe $- (2 x + 5)$ como $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.13.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Paso 1.14

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.15.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Paso 1.15.1.2

Suma $4$ y $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Paso 1.15.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.15.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

Paso 1.15.2.2

Resta $5$ de $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 1.15.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

Paso 1.15.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.15.3.1

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

Paso 1.15.3.2

Divide $27$ por $- 1$ .

$- - 27$

Paso 1.15.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 27$ .

$27$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $27$ y un punto dado $(2, 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $27 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $27$ por $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 27 x - 54 + 6$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 54$ y $6$ .

$y = 27 x - 48$

Paso 3