Cálculo Ejemplos

$y = \frac{36}{x^{2} + 2}$ , $(1, 12)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 12$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{36}{x^{2} + 2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$36 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2$ .

$36 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$- 36 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$- 72 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 72 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Combina $- 72$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Paso 1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Paso 1.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.2.4

Mueve $72$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{72 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- \frac{72 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $72$ por $1$ .

$- \frac{72}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{72}{{(1 + 2)}^{2}}$

Paso 1.6.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{72}{3^{2}}$

Paso 1.6.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{72}{9}$

Paso 1.6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.3.1

Divide $72$ por $9$ .

$- 1 \cdot 8$

Paso 1.6.3.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 8$ y un punto dado $(1, 12)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (12) = - 8 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 8 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 12 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 12 = - 8 x - 8 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y - 12 = - 8 x + 8$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 8 x + 8 + 12$

Paso 2.3.2.2

Suma $8$ y $12$ .

$y = - 8 x + 20$

Paso 3