Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5 x}{x - 3}$ , $(4, 20)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 20$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x}{x - 3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 3$ .

$5 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$5 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$5 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.4.1

Resta $3$ de $0$ .

$5 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Paso 1.3.6.4.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $- 5$ y $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.6.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{15}{{((4) - 3)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Resta $3$ de $4$ .

$- \frac{15}{1^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{15}{1}$

Paso 1.5.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Divide $15$ por $1$ .

$- 1 \cdot 15$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$- 15$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $- 15$ y un punto dado $(4, 20)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (20) = - 15 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $- 15 \cdot (x - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 20 = 0 + 0 - 15 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 20 = - 15 x - 15 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 15$ por $- 4$ .

$y - 20 = - 15 x + 60$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 15 x + 60 + 20$

Paso 2.3.2.2

Suma $60$ y $20$ .

$y = - 15 x + 80$

Paso 3