Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x}{x - 2}$ , $(4, 6)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{x - 2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 2$ .

$3 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$3 \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.4.1

Resta $2$ de $0$ .

$3 \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{2}{{(x - 2)}^{2}})$

Paso 1.3.6.4.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $- 3$ y $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{6}{{((4) - 2)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2$ de $4$ .

$- \frac{6}{2^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{2}$ y un punto dado $(4, 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 6 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Paso 2.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Paso 2.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - 6 = - \frac{3 x}{2} + 6$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 6$

Paso 2.3.2.2

Suma $6$ y $6$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 12$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 12$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{2} x + 12$

Paso 3