Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 1$ y $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 4 - 2 x - 1$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{9}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{3}$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

Paso 3