Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.5

Expande $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.4.1.6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.4.1.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.6.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.2.2

Suma $2 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.4

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5.2.4

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{6}{3^{2}}$

Paso 1.5.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6}{9}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Paso 1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{3}$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Paso 2.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

Paso 3