Cálculo Ejemplos

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x y^{3} + 5 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x y^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.2.7

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x y$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

Paso 1.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

Paso 1.2.4.4

Reordena los términos.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

Paso 1.3

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $4 y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

Paso 1.5.1.2

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Paso 1.5.2

Factoriza $x y'$ de $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $x y'$ de $12 y^{2} x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $x y'$ de $5 x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ .

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ por $x (12 y^{2} + 5)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ por $x (12 y^{2} + 5)$ .

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $12 y^{2} + 5$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 4$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Paso 1.7.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Paso 1.7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Paso 1.7.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Paso 1.7.3.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Paso 1.7.3.3

Resta $5$ de $- 4$ .

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

Paso 1.7.4.3

Suma $12$ y $5$ .

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $4$ por $17$ .

$\frac{- 9}{68}$

Paso 1.7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{68}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{9}{68}$ y un punto dado $(4, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{9}{68}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{68}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $4$ de $68$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 9}{17}$ y $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

Paso 2.3.2.4

Suma $9$ y $17$ .

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

Paso 3