Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - x^{4}$ , $(1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 x - (4 x^{3})$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 x - 4 x^{3}$

Paso 1.3

Reordena los términos.

$- 4 x^{3} + 2 x$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 4 {(1)}^{3} + 2 (1)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 \cdot 1 + 2 (1)$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 + 2 (1)$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 4 + 2$

Paso 1.5.2

Suma $- 4$ y $2$ .

$- 2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 2$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 2 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica $- 2 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 1$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - 2 x + 2$

Paso 3