Cálculo Ejemplos

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{y} + y e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

Paso 1.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Reordena los términos.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

Paso 1.2.4.2

Reordena los factores en $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

Paso 1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Reordena los factores en $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

Paso 1.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Resta $y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

Paso 1.5.2.2

Resta $e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

Paso 1.5.3

Factoriza $y'$ de $x y' e^{y} + y' e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Factoriza $y'$ de $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ .

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ por $x e^{y} + e^{x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ por $x e^{y} + e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $x e^{y} + e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y e^{x}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y e^{x}) - (e^{y})$ .

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.5.1

Reescribe $- (y e^{x} + e^{y})$ como $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ .

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1

Multiplica $e^{0}$ por $1$ .

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Paso 1.7.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Paso 1.7.3.3

Simplifica.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.1

Simplifica.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $0$ por $e$ .

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

Paso 1.7.4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

Paso 1.7.4.4

Suma $0$ y $1$ .

$- \frac{1 + e}{1}$

Paso 1.7.5

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.5.1

Divide $1 + e$ por $1$ .

$- (1 + e)$

Paso 1.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - e$

Paso 1.7.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - e$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $- 1 - e$ y un punto dado $(0, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - 1 x - e x$

Paso 2.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 1 = - x - e x$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x - e x + 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Mueve $e$ .

$y = - x - 1 x e + 1$

Paso 2.3.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - x e + 1$

Paso 2.3.3.3

Factoriza $x$ de $- x$ .

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

Paso 2.3.3.4

Factoriza $x$ de $- x e$ .

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $x$ de $x \cdot - 1 + x (- e)$ .

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $- 1 - e$ por $x$ .

$y = (- 1 - e) x + 1$

Paso 3