Cálculo Ejemplos

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia.

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Paso 1.3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Paso 1.5

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Paso 1.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Paso 1.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Paso 1.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = 2$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $2$ en la expresión.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3 (1)}{2}$

Paso 1.7.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Paso 1.7.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 \cdot 1}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 1.7.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2}$

Paso 1.7.5

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.7.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 1.7.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{4}$

Paso 1.7.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.8.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 + 6}{4}$

Paso 1.7.8.2

Suma $3$ y $6$ .

$\frac{9}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{9}{4}$ y un punto dado $(1, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = \frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{9}{4}$ y $x$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{9}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{9}{4}$ y $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 2 = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 8}{4}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 9$ y $8$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{9}{4} x - \frac{1}{4}$

Paso 3