Cálculo Ejemplos

$x^{2} + 4 x y + y^{2} = 13$ , $(2, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (13)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y y'$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 2 y y'$

Paso 1.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 2 y y'$

Paso 1.2.4.3

Reordena los términos.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y$

Paso 1.3

Como $13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $13$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x y' + 2 y y' + 4 y = - 2 x$

Paso 1.5.1.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x y' + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Paso 1.5.2

Factoriza $2 y'$ de $4 x y' + 2 y y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $4 x y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y' y = - 2 x - 4 y$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (2 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ por $2 (2 x + y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ por $2 (2 x + y)$ .

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $2 x + y$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 2 y}{2 x + y}$

Paso 1.5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} - \frac{2 y}{2 x + y}$

Paso 1.5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 x + y}$

Paso 1.5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 x + y}$

Paso 1.5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 x + y}$

Paso 1.5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 x + y}$

Paso 1.5.3.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.2.5.1

Reescribe $- (x + 2 y)$ como $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 x + y}$

Paso 1.5.3.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{(2) + 2 y}{2 (2) + y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Paso 1.7.3

Elimina los paréntesis.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Paso 1.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2 + 2}{2 (2) + 1}$

Paso 1.7.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{4}{2 (2) + 1}$

Paso 1.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4}{4 + 1}$

Paso 1.7.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{4}{5}$ y un punto dado $(2, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Paso 2.3.1.5.2

Combina $2$ y $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Suma $8$ y $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Paso 3