Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 8$ , $(4, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y) = \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 y'$

Paso 1.2.5

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2$

Paso 1.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2 = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 4 y' - 2 = - 2 x$

Paso 1.5.1.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 4 y' = - 2 x + 2$

Paso 1.5.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' + 4 y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 2 x + 2$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 2 x + 2$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ por $2 (y + 2)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ por $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{1}{y + 2}$

Paso 1.5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x + 1}{y + 2}$

Paso 1.5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 1}{y + 2}$

Paso 1.5.3.3.2.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y + 2}$

Paso 1.5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x - 1)}{y + 2}$

Paso 1.5.3.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.2.5.1

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y + 2}$

Paso 1.5.3.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 4$ y $y = 0$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{(4) - 1}{y + 2}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$- \frac{(4) - 1}{(0) + 2}$

Paso 1.7.3

Resta $1$ de $4$ .

$- \frac{3}{0 + 2}$

Paso 1.7.4

Suma $0$ y $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{2}$ y un punto dado $(4, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.2

Simplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.2.1

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Paso 2.3.2.1.2

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Paso 2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Paso 2.3.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Paso 2.3.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Paso 2.3.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Paso 2.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 6$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{2} x + 6$

Paso 3