Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} = 65$ , $(4, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (65)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 1.3

Como $65$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $65$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 4$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{{(4)}^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{{(4)}^{2}}{{(1)}^{2}}$

Paso 1.7.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{16}{1^{2}}$

Paso 1.7.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{16}{1}$

Paso 1.7.5

Divide $16$ por $1$ .

$- 1 \cdot 16$

Paso 1.7.6

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- 16$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 16$ y un punto dado $(4, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 16 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - 16 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 16 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - 16 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - 16 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - 16 x - 16 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 16$ por $- 4$ .

$y - 1 = - 16 x + 64$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 16 x + 64 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $64$ y $1$ .

$y = - 16 x + 65$

Paso 3