Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 16$ , $(4, 8)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (16)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 1.2.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 1.2.2.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 1.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 1.2.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y y')$

Paso 1.2.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$x + \frac{2}{8} (y y')$

Paso 1.2.3.5

Combina $y$ y $\frac{2}{8}$ .

$x + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

Paso 1.2.3.6

Combina $\frac{y \cdot 2}{8}$ y $y'$ .

$x + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

Paso 1.2.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

Paso 1.2.3.8

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 1.2.3.8.1

Factoriza $2$ de $2 y y'$ .

$x + \frac{2 (y y')}{8}$

Paso 1.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$x + \frac{y y'}{4}$

Paso 1.3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x + \frac{y y'}{4} = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y y'}{4} = - x$

Paso 1.5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Paso 1.5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Paso 1.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y y' = 4 (- x)$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y y' = - 4 x$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y y' = - 4 x$ por $y$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y y' = - 4 x$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 4$ y $y = 8$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{4 (4)}{y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $8$ en la expresión.

$- \frac{4 (4)}{8}$

Paso 1.7.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Paso 1.7.3.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Paso 1.7.3.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{2}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.7.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 1.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 1.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{1}$

Paso 1.7.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 1.7.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 2$ y un punto dado $(4, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 2 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 2 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = - 2 x - 2 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y - 8 = - 2 x + 8$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 x + 8 + 8$

Paso 2.3.2.2

Suma $8$ y $8$ .

$y = - 2 x + 16$

Paso 3