Cálculo Ejemplos

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = π$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (y) y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 1.3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Paso 1.3.3.2

Suma $20 x^{3}$ y $0$ .

$20 x^{3}$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Paso 1.5

Divide cada término en $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ por $\cos (y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ por $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Paso 1.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = π$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $π$ en la expresión.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

Paso 1.7.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

Paso 1.7.4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

Paso 1.7.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $20$ por $1$ .

$\frac{20}{- 1}$

Paso 1.7.5.2

Divide $20$ por $- 1$ .

$- 20$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 20$ y un punto dado $(1, π)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 20 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 1$ .

$y - π = - 20 x + 20$

Paso 2.3.2

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 20 x + 20 + π$

Paso 3