Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Reescribe el lado izquierdo con exponentes racionales.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Paso 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y^{4}}$ como $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Paso 1.2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 1.3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.2.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Paso 1.3.3.7

Combina $\frac{4}{3}$ y $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Paso 1.3.3.8

Combina $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ y $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Paso 1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Paso 1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Paso 1.6

Resuelve $y'$

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Paso 1.6.1

Reordena los factores en $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Paso 1.6.2

Resta $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.6.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.6.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.6.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.6.4.1.1

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

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Paso 1.6.4.1.1.1

Combinar.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.6.4.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.6.4.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.6.4.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.6.4.1.1.5

Divide $y' y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 1.6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.4.2.1

Simplifica $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

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Paso 1.6.4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.6.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ al numerador.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.6.4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.6.4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.6.4.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.6.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.6.5

Divide cada término en $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ por $y^{\frac{1}{3}}$ y simplifica.

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Paso 1.6.5.1

Divide cada término en $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ por $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.6.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.6.5.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.6.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 1.6.5.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.8

Evalúa $x = 1$ y $y = 1$ .

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Paso 1.8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.8.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.8.3

Multiplica ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.8.3.1

Mueve ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 1.8.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 1.8.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Paso 1.8.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.8.3.5

Divide $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Paso 1.8.4

Simplifica $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{4}$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Paso 2.3.2.4

Suma $1$ y $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Paso 3