Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} {(\frac{n - 3}{n})}^{n}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{n - 3}{n})}^{n}$ como $e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n - 3}{n})}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8})}$

Paso 4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

${(\frac{8 - 3}{8})}^{8}$

Paso 4.3.2

Resta $3$ de $8$ .

${(\frac{5}{8})}^{8}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5^{8}}{8^{8}}$

Paso 4.5

Eleva $5$ a la potencia de $8$ .

$\frac{390625}{8^{8}}$

Paso 4.6

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{390625}{16777216}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{390625}{16777216}$

Forma decimal:

$0.02328306 \dots$