Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{3}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{3}$ para $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 9.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 9.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $3 \cos (\frac{π}{3})$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.1.1.3

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ .

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.6

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.7

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.9.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.1.9.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.2

Multiplica $0$ por $\frac{5}{2}$ .

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

Paso 9.3

Divide $0$ por $2 \cos (x) - 1$ .

$0$