Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Paso 1

Evalúa el límite de ${(1 + h)}^{4} - 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(1 + h)}^{4}$ como ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

Paso 2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

Paso 2.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = {(1 + h)}^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe ${(1 + h)}^{2}$ como $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.2

Expande $(1 + h) (1 + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.3.1.2

Multiplica $h$ por $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.3.1.3

Multiplica $h$ por $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.3.1.4

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.3.2

Suma $h$ y $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.5

Reordena los términos.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Paso 2.1.4.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

Paso 2.1.4.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1 + h$ y $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

Paso 2.1.4.8

Simplifica.

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Paso 2.1.4.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

Paso 2.1.4.8.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

Paso 2.1.4.8.3

Suma $h$ y $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Paso 2.2.2

Divide $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ por $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

Paso 2.3

Expande $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $h^{2}$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1.1

Multiplica $h^{2}$ por $h$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.3

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.3.1

Mueve $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Paso 2.5

Suma $2 h^{2}$ y $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Paso 2.6

Suma $4 h$ y $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$