Cálculo Ejemplos

$x^{3} - 7 = 0$ , $a = 2$

Paso 1

Obtén la derivada de $f (x) = x^{3} - 7$ para usar en el método de Newton.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 2

Establece la fórmula para obtener la aproximación $x_{2}$ .

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}$

Paso 3

Sustituye el valor de $x_{1}$ en la siguiente aproximación del método de Newton.

$x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica el lado derecho de la ecuación para obtener $x_{2}$ .

$x_{2} = 1.91\overline{6}$

Paso 5

Establece la fórmula para obtener la aproximación $x_{3}$ .

$x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}$

Paso 6

Sustituye el valor de $x_{2}$ en la siguiente aproximación del método de Newton.

$x_{3} = 1.91\overline{6} - \frac{{(1.91\overline{6})}^{3} - 7}{3 {(1.91\overline{6})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el lado derecho de la ecuación para obtener $x_{3}$ .

$x_{3} = 1.91293845$

Paso 8

Establece la fórmula para obtener la aproximación $x_{4}$ .

$x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

Paso 9

Sustituye el valor de $x_{3}$ en la siguiente aproximación del método de Newton.

$x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}$

Paso 10

Simplifica el lado derecho de la ecuación para obtener $x_{4}$ .

$x_{4} = 1.91293118$

Paso 11

Establece la fórmula para obtener la aproximación $x_{5}$ .

$x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}$

Paso 12

Sustituye el valor de $x_{4}$ en la siguiente aproximación del método de Newton.

$x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Paso 13

Simplifica el lado derecho de la ecuación para obtener $x_{5}$ .

$x_{5} = 1.91293118$

Paso 14

Establece la fórmula para obtener la aproximación $x_{6}$ .

$x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}$

Paso 15

Sustituye el valor de $x_{5}$ en la siguiente aproximación del método de Newton.

$x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Paso 16

Simplifica el lado derecho de la ecuación para obtener $x_{6}$ .

$x_{6} = 1.91293118$

Paso 17

Como las aproximaciones $6 t h$ y $5 t h$ son iguales a $6$ cifras decimales, $1.91293118$ es la aproximación de la raíz.

$1.91293118$