Cálculo Ejemplos

$y = x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ , $(1, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$1 + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$1 + 12 x - 3 (4 x^{3})$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$1 + 12 x - 12 x^{3}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 12 x^{3} + 12 x + 1$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 12 {(1)}^{3} + 12 (1) + 1$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 12 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12 + 12 (1) + 1$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$- 12 + 12 + 1$

Paso 1.6.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.6.2.1

Suma $- 12$ y $12$ .

$0 + 1$

Paso 1.6.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(1, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 1 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = 1 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$y - 4 = x - 1$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x - 1 + 4$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$y = x + 3$

Paso 3