Cálculo Ejemplos

$y = 4 - x^{2}$ , $(- 1, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 1.3

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Paso 1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(- 1, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = 2 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $2 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = 2 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$y - 3 = 2 x + 2$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x + 2 + 3$

Paso 2.3.2.2

Suma $2$ y $3$ .

$y = 2 x + 5$

Paso 3