Cálculo Ejemplos

$y = 2 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 1.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$2 e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 1.5.3

Reordena los factores en $2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$2 (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 1.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Paso 1.7.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 2 e^{0}$

Paso 1.7.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 1.7.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 1.7.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(0, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 2 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 2 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = 2 x$

Paso 3