Cálculo Ejemplos

$y = 20 \sqrt{x}$ , $(4, 40)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 40$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$20 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$20 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$20 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$20 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$20 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Combina $20$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{20 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Factoriza $2$ de $20$ .

$\frac{2 \cdot 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{10}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.15.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{10}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.15.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.15.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{10}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.15.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10}{2^{1}}$

Paso 1.15.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{10}{2}$

Paso 1.15.2

Divide $10$ por $2$ .

$5$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $5$ y un punto dado $(4, 40)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (40) = 5 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 40 = 5 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $5 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 40 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 40 = 5 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 40 = 5 x + 5 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$y - 40 = 5 x - 20$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $40$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5 x - 20 + 40$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 20$ y $40$ .

$y = 5 x + 20$

Paso 3