Cálculo Ejemplos

$2 \ln (\sec (x))$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Para cualquier $y = \sec (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = \frac{π}{2} + n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = \ln (\sec^{2} (x))$ . Establece el interior de la función secante, $b x + c$ , para que $y = a \sec (b x + c) + d$ sea igual a $- \frac{π}{2}$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = \ln (\sec^{2} (x))$ .

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

Paso 1.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ .

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

Paso 1.2.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\sqrt{\frac{π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 1.2.2.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.2.2.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.2.2.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.2.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.2.2.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.2.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.2.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.2.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.2.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.2.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.2.2.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Paso 1.2.2.7

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Paso 1.2.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Paso 1.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Paso 1.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Paso 1.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Paso 1.2.4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Paso 1.2.5

Resuelve $x$ en $\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

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Paso 1.2.5.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Paso 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indefinida

Paso 1.2.6

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

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Paso 1.2.6.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Paso 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indefinida

Paso 1.2.7

Enumera todas las soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Establece el interior de la secante $\sec^{2} (x)$ igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Paso 1.4.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

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Paso 1.4.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.4.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.4.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.4.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.4.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.4.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.4.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.4.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.4.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.4.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.4.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.4.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.4.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.4.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.2.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Paso 1.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 1.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.4.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 1.4.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 1.4.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 1.4.4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 1.4.5

Resuelve $x$ en $\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

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Paso 1.4.5.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Paso 1.4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.5.2.1

Evalúa $arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 1.09205895$

Paso 1.4.5.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Paso 1.4.5.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.5.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Paso 1.4.5.4.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 1.09205895$ .

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Paso 1.4.5.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

Paso 1.4.5.4.2.2

Resta $1.09205895$ de $6.2831853$ .

$x = 5.19112635$

Paso 1.4.5.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 1.4.5.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.4.5.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.4.5.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.4.5.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.4.5.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.4.6

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

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Paso 1.4.6.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Paso 1.4.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.6.2.1

Evalúa $arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 2.0495337$

Paso 1.4.6.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Paso 1.4.6.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.6.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Paso 1.4.6.4.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 2.0495337$ .

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Paso 1.4.6.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

Paso 1.4.6.4.2.2

Resta $2.0495337$ de $6.2831853$ .

$x = 4.2336516$

Paso 1.4.6.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 1.4.6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.4.6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.4.6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.4.6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.4.6.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.4.7

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.4.8

Consolida las soluciones.

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Paso 1.4.8.1

Consolida $1.09205895 + 2 π n$ y $4.2336516 + 2 π n$ en $1.09205895 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.4.8.2

Consolida $5.19112635 + 2 π n$ y $2.0495337 + 2 π n$ en $2.0495337 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.5

El período básico de $y = \ln (\sec^{2} (x))$ se producirá en $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ , donde y $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ son asíntotas verticales.

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

Paso 1.6

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 1.6.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.6.2

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.7

Las asíntotas verticales de $y = \ln (\sec^{2} (x))$ se producen en , $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ y en cada $π n$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$π n$

Paso 1.8

Solo hay asíntotas verticales para la secante y la cosecante.

Asíntotas verticales: $x = π n$ para cualquier número entero $n$

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = π n$ para cualquier número entero $n$

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Evalúa $\sec (1)$ .

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

Paso 2.2.2

Simplifica $2 \ln (1.85081571)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

Paso 2.2.3

Eleva $1.85081571$ a la potencia de $2$ .

$f (1) = \ln (3.42551882)$

Paso 2.2.4

La respuesta final es $\ln (3.42551882)$ .

$\ln (3.42551882)$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 5$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Evalúa $\sec (5)$ .

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

Paso 3.2.2

Simplifica $2 \ln (3.52532008)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

Paso 3.2.3

Eleva $3.52532008$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \ln (12.4278817)$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $\ln (12.4278817)$ .

$\ln (12.4278817)$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 6$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\sec (6)$ .

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

Paso 4.2.2

Simplifica $2 \ln (1.04148192)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

Paso 4.2.3

Eleva $1.04148192$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = \ln (1.0846846)$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\ln (1.0846846)$ .

$\ln (1.0846846)$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ y los puntos $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ .

Asíntota vertical: $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

Paso 6