Cálculo Ejemplos

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Suma $\ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

Paso 1.2

Divide cada término en $y \sqrt{x} = \ln (x)$ por $\sqrt{x}$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $y \sqrt{x} = \ln (x)$ por $\sqrt{x}$ .

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{x}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 1.2.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 1.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Paso 1.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Paso 1.2.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 1.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

Paso 1.2.3.2.6.5

Simplifica.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

Paso 2

Obtén el dominio para $k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 2.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 2.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.3

Establece el denominador en $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 3

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $0$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

Paso 3.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$f (0) = Undefined$

Indefinida

Paso 4

El extremo de la expresión radical es $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Paso 5

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 5.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . En este caso, el punto es $(1, 0)$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Divide $\ln (1) \sqrt{1}$ por $1$ .

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

Paso 5.1.2.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

Paso 5.1.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 0 \cdot 1$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$f (1) = 0$

Paso 5.1.2.5

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 5.2

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . En este caso, el punto es $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 5.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Paso 5.3

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

Paso 6