Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Establece el argumento del logaritmo igual a cero.

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.3

Resta $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.4

Reescribe $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (19)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Paso 1.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.3

Resta $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.4

Reescribe $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (19)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Paso 1.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Paso 1.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.3

Resta $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe $- 19$ como $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (19)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

Paso 1.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Paso 1.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Paso 1.3

La asíntota vertical ocurre en $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

Asíntota vertical: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma $1$ y $3$ .

$f (1) = \ln (4 + 7)$

Paso 2.2.2.2

Suma $4$ y $7$ .

$f (1) = \ln (11)$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $\ln (11)$ .

$\ln (11)$

Paso 2.3

Convierte $\ln (11)$ a decimal.

$y = 2.39789527$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.2.1

Suma $4$ y $6$ .

$f (2) = \ln (10 + 7)$

Paso 3.2.2.2

Suma $10$ y $7$ .

$f (2) = \ln (17)$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Paso 3.3

Convierte $\ln (17)$ a decimal.

$y = 2.83321334$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $9$ y $9$ .

$f (3) = \ln (18 + 7)$

Paso 4.2.2.2

Suma $18$ y $7$ .

$f (3) = \ln (25)$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Paso 4.3

Convierte $\ln (25)$ a decimal.

$y = 3.21887582$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ y los puntos $(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ .

Asíntota vertical: $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Paso 6