Cálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el argumento en $\ln (\sqrt{x + 1})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Simplifica.

$x + 1 > 0^{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x + 1 > 0$

Paso 1.2.3

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x > - 1$

Paso 1.2.4

Obtén el dominio de $\sqrt{x + 1}$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 1 \geq 0$

Paso 1.2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 1.2.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, \infty)$

Paso 1.2.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > - 1$

Paso 1.3

Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 1 \geq 0$

Paso 1.4

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Notación de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Paso 2

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $- 1$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Paso 2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Paso 2.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Paso 2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 1) = \ln (0)$

Paso 2.5

El logaritmo natural de cero es indefinido.

$f (- 1) = Undefined$

Indefinida

Paso 3

El extremo de la expresión radical es $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . En este caso, el punto es $(0, 0)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Paso 4.1.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Paso 4.1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . En este caso, el punto es $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Paso 4.2.2.2

La respuesta final es $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Paso 4.3

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Paso 5