Cálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt{x y})$

Paso 1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\sqrt{x y})} = e^{0}$

Paso 2

Reescribe $\ln (\sqrt{x y}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \sqrt{x y}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{x y} = e^{0}$ .

$\sqrt{x y} = e^{0}$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x y}}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x y)}^{1} = {(e^{0})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$x y = {(e^{0})}^{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica ${(e^{0})}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{0})}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = e^{0 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Multiplica $0$ por $2$ .

$x y = e^{0}$

Paso 3.3.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x y = 1$

Paso 3.4

Divide cada término en $x y = 1$ por $y$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $x y = 1$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{y}$

Paso 4

Obtén el valor de $y$ en $x = - 1$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{1}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 4.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 5

Obtén el valor de $y$ en $x = - 2$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{1}{- 2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 5.3

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén el valor de $y$ en $x = - 3$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{1}{- 3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{1}{3}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 6.3

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 7

Obtén el valor de $y$ en $x = 1$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1}{1}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Divide $1$ por $1$ .

$f (1) = 1$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 7.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 8

Obtén el valor de $y$ en $x = 2$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{1}{2}$

Paso 8.2

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 8.3

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 9

Obtén el valor de $y$ en $x = 3$ .

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{1}{3}$

Paso 9.2

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 9.3

El valor de $y$ en $x = 3$ es $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Paso 10

Enumera los puntos que se graficarán.

$(- 1, - 1), (- 2, - 0.5), (- 3, - 0.\overline{3}), (1, 1), (2, 0.5), (3, 0.\overline{3})$

Paso 11

Selecciona algunos puntos para la gráfica.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 0.333 \\ - 2 & - 0.5 \\ - 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \end{array}$

Paso 12