Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ no está definida.

$x \leq - \frac{5}{7}$

Paso 1.2

Como $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ desde la izquierda y $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{5}{7}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{5}{7}$

Paso 1.3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.3.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.3.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Paso 1.3.1.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Paso 1.3.1.1.3

Como el exponente $7 x + 5$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{7 x + 5}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 7 x + 5$ .

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Paso 1.3.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.8

Suma $7$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.9

Combina $\frac{1}{7 x + 5}$ y $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Paso 1.3.1.3.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x + 5$ .

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Paso 1.3.1.3.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Paso 1.3.1.3.10.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Paso 1.3.1.3.10.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Paso 1.3.1.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Paso 1.3.1.3.12

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Paso 1.3.1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

Paso 1.3.1.3.14

Multiplica $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

Paso 1.3.1.3.15

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

Paso 1.3.1.3.16

Suma $7$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

Paso 1.3.1.3.17

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{7 x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

Paso 1.3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $\frac{7}{7 x + 5}$ por $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Paso 1.3.1.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Paso 1.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

Paso 1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ se acerca a $0$ .

$0$

Paso 1.4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 1.5

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{5}{7}$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = - \frac{5}{7}$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Paso 2.2.1.2

Suma $7$ y $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

Paso 2.2.2.2

Suma $7$ y $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ .

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Paso 2.3

Convierte $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ a decimal.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Paso 3.2.1.2

Suma $14$ y $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

Paso 3.2.2.2

Suma $14$ y $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ .

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Paso 3.3

Convierte $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ a decimal.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Paso 4.2.1.2

Suma $21$ y $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

Paso 4.2.2.2

Suma $21$ y $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ .

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Paso 4.3

Convierte $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ a decimal.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = - \frac{5}{7}$ y los puntos $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ .

Asíntota vertical: $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

Paso 6